光学公式

第一章费马原理与变折射率光学
第二章波动光学引论
第三章介质界面光学与近场光学显微镜
第四章干涉装置与光场时空相干性激光
第五章多元多维结构衍射与分形光学
第六章傅里叶变换光学与相因子分析方法
第七章光全息术
第八章光在晶体中的传播
第九章吸收·色散·散射

第一章费马原理与变折射率光学

折射定律：

n_1\sin i_1=n_2\sin i_2

光在介质中传播时，频率 $f$ 通常是一个定值，且始终有 $v=\lambda f$
折射率与光速的关系为

n=\frac{c}{v},\ \ \ \ \ v=\frac{c}{n}

相应地，折射率与波长的关系为

n=\frac{\lambda_0}{\lambda},\ \ \ \ \ \lambda=\frac{\lambda_0}{n}

折射率与光程 $l$ （光认为的距离）的关系为

n=\frac{l}{l_0},\ \ \ \ \ l_0=\frac{l}{n}

相位差的计算公式为

\varphi=2\pi\frac{l_0}{\lambda}=2\pi\frac{l/n}{\lambda_0/n}=2\pi\frac{l}{\lambda_0}

光在介质中的传播时间为

t=\frac{l_0}{v}=\frac{l}{c}

球面折射的傍轴成像公式为（设左方（物方）介质折射率为 $n$ ，右方（像方）介质折射率为 $n'$ ，球心位于像方一侧，半径为 $r$ ，以球面中点为原点）

\frac{n}{s}+\frac{n'}{s'}=\frac{n'-n}{r}

令上式中 $s'=\infty$ 或 $s=\infty$ 可导出物方焦距（前焦距） $f$ 与像方焦距（后焦距） $f'$ 分别为

f=\frac{n}{n'-n}r,\ \ \ \ \ f'=\frac{n'}{n'-n}r

物方焦距与像方焦距的比值为

\frac{s}{s'}=\frac{n}{n'}

单球面折射的齐明点满足（若以球心 $\mathrm{C}$ 为原点）

s_0'=\frac{n'}{n}r,\ \ \ \ \ s_0=\frac{n}{n'}r,\ \ \ \ \ s_0's_0=r^2

在齐明点上，有阿贝正弦定理 $ny\sin u=n'y'\sin u'$ ，其中 $u$ 和 $u'$ 为光锥孔径角
当光线在变折射率介质中传播时，光线方程需要满足

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\sqrt{\frac{n^2\left(y\right)}{n_0^2\sin^2\theta_0}-1}

或

\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}=\frac{1}{2n_0^2\sin^2\theta_0}\cdot\frac{\mathrm{d}\left(n^2\right)}{\mathrm{d}y}

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第二章波动光学引论

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光波的复振幅描述

平面简谐波：

\begin{aligned} U\left(\vec{r},t\right)&=A\cos\left(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{r}-\varphi_0\right)\\ \tilde{U}\left(\vec{r},t\right)&=A\mathrm{e}^{i\vec{k}\cdot\vec{r}}\cdot\mathrm{e}^{-i\omega t} \end{aligned}

球面简谐波：

\begin{aligned} U\left(\vec{r},t\right)&=\frac{a_1}{r}\cos\left(\omega t-kr-\varphi_0\right)\\ \tilde{U}\left(\vec{r},t\right)&=\frac{a_1}{r}\mathrm{e}^{ikr}\cdot\mathrm{e}^{-i\omega t} \end{aligned}

柱面简谐波：

\begin{aligned} U\left(\vec{r},t\right)&=\frac{b_1}{\sqrt{r}}\cos\left(\omega t-kr-\varphi_0\right)\\ \tilde{U}\left(\vec{r},t\right)&=\frac{b_1}{\sqrt{r}}\mathrm{e}^{ikr}\cdot\mathrm{e}^{-i\omega t} \end{aligned}

其中 $k=2\pi/\lambda$

引入复振幅 $\tilde{U}=A\left(P\right)\mathrm{e}^{i\varphi\left(P\right)}$
对于轴外点源的球面波，有

\tilde{U}\left(P\right)=\frac{a_1}{r}\mathrm{e}^{\pm ikr}\\\\ r=\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2}

在傍轴条件 $z^2\gg\rho^2$ 和远场条件 $z\lambda\gg\rho^2$ 时，球面波可以近似看成平面波
当两束光 $I\left(P_1\right)$ 和 $I\left(P_2\right)$ 发生干涉时，干涉强度为 $I\left(P\right)=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta\left(P\right)$ ，衬比度为

\gamma=\frac{I_M-I_m}{I_M+I_m}=\frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}

由此可将干涉强度改写为 $I\left(P\right)=I_0\left(1+\gamma\cos\delta\left(P\right)\right)$ ，其中 $I_0=I_1+I_2$

光波干涉引论

对于杨氏双缝干涉，在 $x$ 处两束光的光程差为

\begin{aligned} \delta r&=r_1-r_2=\sqrt{D^2+\left(x+\frac{d}{2}\right)^2+y^2}-\sqrt{D^2+\left(x-\frac{d}{2}\right)^2+y^2}\\\\ &\approx\left[D+\frac{\left(x+\frac{d}{2}\right)^2+y^2}{2D}\right]-\left[D+\frac{\left(x-\frac{d}{2}\right)^2+y^2}{2D}\right]\approx\frac{xd}{D} \end{aligned}

因此干涉条纹分布为

I\left(x,y\right)=I_0\left(1+\cos k\frac{d}{D}x\right)

相应的干涉条纹间距为

k\frac{d}{D}x=2\pi\Leftrightarrow x=\frac{2\pi D}{kd}=\frac{\lambda D}{d}

两束平行光与 $x$ 轴的夹角分别为 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ ，则其干涉场的条纹间距公式为

\Delta x=\frac{\lambda}{\sin\theta_1+\sin\theta_2}

相应的空间频率为

f=\frac{\sin\theta_1+\sin\theta_2}{\lambda}

光波衍射引论

中心衍射斑的角宽度 $\Delta \theta$ 与波长 $\lambda$ 和距离 $\rho$ 的关系为

\rho\cdot\Delta\theta\approx\lambda

菲涅尔衍射积分公式：

\tilde{U}\left(P\right)=K\oint_{\left(\Sigma\right)}f\left(\theta_0,\theta\right)\tilde{U}_0\left(Q\right)\frac{\mathrm{e}^{ikr}}{r}\mathrm{d}S

其中 $f\left(\theta_0,\theta\right)$ 为倾斜因子

基尔霍夫衍射积分公式：

\tilde{U}\left(P\right)=\frac{-i}{\lambda}\oint_{\left(\Sigma\right)}\frac{1}{2}\left(\cos\theta_0+\cos\theta\right)\tilde{U}_0\left(Q\right)\frac{\mathrm{e}^{ikr}}{r}\mathrm{d}S

考虑到基尔霍夫边界条件（即只有光孔面的波前对场点有贡献）和傍轴衍射（即倾斜因子为 $1$ ），衍射积分公式变为

\tilde{U}\left(P\right)=\frac{-i}{\lambda r_0}\oint_{\left(\Sigma\right)}\tilde{U}_0\left(Q\right)\mathrm{e}^{ikr}\mathrm{d}S

其中 $\tilde{U}_0\left(Q\right)$ 被称为瞳函数

菲涅尔衍射：光源与接收屏到衍射屏的距离不均为无限远；夫琅禾费衍射：光源与接收屏到衍射屏的距离均为无限远

半波带方法

在以点源为球心的球面上，以场点为球心， $b$ 、 $b+{\lambda}/{2}$ 、 $b+2{\lambda}/{2}$ 等为半径分割波前为一系列环带，则每一环带对场点的贡献应当相同，相邻环带对场点的贡献相反。称为半波带方法。第一个半波带的光场振幅贡献 $A_1$ 为自由光场振幅 $A_0$ 的两倍，即有 $A_1=2A_0$
由余弦定理和小量近似可得圆孔半径与半波带阶数的关系为

\rho_k=\sqrt{k\frac{Rb\lambda}{R+b}}=\sqrt{k}\rho_1,\ \ \ \ \ \rho_1=\sqrt{\frac{Rb\lambda}{R+b}}

相应的，若圆孔半径 $\rho$ 给定，则其所包含的半波带数目为

k=\left(\frac{1}{R}+\frac{1}{b}\right)\cdot\frac{\rho^2}{\lambda}

或

\frac{1}{R}+\frac{1}{b}=k\frac{\lambda}{\rho^2}

当孔的半径不大时，圆屏的衍射花样是在以圆盘状暗场背景中出现一个泊松亮斑，其衍射强度与自由光场相同
波带片的第k个焦点就是令上式中 $R\rightarrow\infty$ 所计算得到的 $b$ 的值，即有

\frac{1}{f_k}=k\frac{\lambda}{\rho^2}

波带片的衍射成像公式为

\frac{1}{R}+\frac{1}{b_k}=k\frac{\lambda}{\rho^2}=\frac{1}{f_k}

单缝夫琅禾费衍射

单缝夫琅禾费衍射的振幅分布与强度分布为

\begin{aligned} A\left(\theta\right)&=A_0\frac{\sin\alpha}{\alpha}\\\\ I\left(\theta\right)&=I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2 \end{aligned}

其中

\alpha=\frac{\delta}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi}{\lambda}a\sin\theta=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}\\\\ I_0=\frac{\left(ab\right)^2}{\left(\lambda f\right)^2}A^2

$a$ 为缝宽， $\theta$ 为衍射花纹位置与原点的连线和传播方向之间的夹角， $b$ 为缝的长度

以 $\alpha$ 为变量，当满足 $\alpha=k\pi$ ，即 $a\sin\theta=k\lambda$ 时，衍射强度为 $0$
零级衍射斑的半角宽度为

\Delta\theta_0=\frac{\lambda}{a}

衍射场大小正比于缝宽，故光强正比于缝宽的平方，零级衍射峰峰值反比与缝宽的平方

矩形孔夫琅禾费衍射

矩形孔的夫琅禾费衍射强度分布为

I\left(\theta_1,\theta_2\right)=I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2\cdot\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2

其中

\alpha=\frac{\pi a\sin\theta_1}{\lambda},\ \ \ \ \ \beta=\frac{\pi b\sin\theta_2}{\lambda}\\\\ I_0=\frac{\left(ab\right)^2}{\left(\lambda f\right)^2}A^2

当衍射角满足

\left\{ \begin{aligned} a\sin\theta_1&=k_1\lambda,\ \ \ k_1=\pm1,\pm2,\dotsb\\\\ b\sin\theta_2&=k_2\lambda,\ \ \ k_2=\pm1,\pm2,\dotsb \end{aligned} \right.

时，衍射强度为零，为暗条纹

在 $x$ 方向和 $y$ 方向的半角宽度分别为

\Delta\theta_1\approx\frac{\lambda}{a},\ \ \ \ \ \Delta\theta_2\approx\frac{\lambda}{b}

圆孔夫琅禾费衍射

圆孔的夫琅禾费衍射强度分布为

I\left(\theta\right)=I_0\left(\frac{2J_1\left(x\right)}{x}\right)^2

其中 $J_1\left(x\right)$ 为一阶贝塞尔函数

x=\frac{2\pi a\sin\theta}{\lambda}\\\\ I_0=\frac{\left(\pi a^2\right)^2}{\left(\lambda f\right)^2}A^2

当满足 $x_0=1.22\pi$ ，即衍射角满足

\Delta\theta_0\approx1.22\frac{\lambda}{D}

时，衍射强度为零，为暗条纹。这也是描述成像仪器分辨本领的瑞利判据

对望远镜来说，由于入射物镜的光线都能够进入人眼，因此其最小分辨角为

\delta\theta_m\approx1.22\frac{\lambda}{D_o}

其中 $D_o$ 为物镜的直径

对于显微镜来说，根据最小分辨角，可以推出其可分辨的最小线度为

\delta y_m\approx 0.61\frac{\lambda_0}{n_0\sin u_0}=0.61\frac{\lambda_0}{\mathrm{N.A.}}

其中 $\mathrm{N.A.}$ 被称为显微镜镜头的数值孔径， $u_0$ 为从样品看去物镜镜头张角的一半

偏振光引论

线偏振光：光矢量可以表示为 $\vec{E}\left(t\right)=\vec{A}\cos\omega t$ ，或用分量表示为

E_x\left(t\right)=A_x\cos\omega t,\ \ \ \ \ E_y\left(t\right)=A_y\cos\left(\omega t+\varphi\right)

自然光：偏振方向、相位和各方向光强等均为随机
部分偏振光：存在一光强择优取向
圆偏振光：光矢量 $\vec{E}\left(t\right)$ 随时间仅改变方向而不改变大小，表示为 $\vec{E}\left(t\right)=E_x\left(t\right)\vec{i}+E_y\left(t\right)\vec{j}$ ，或用分量表示为

E_x\left(t\right)=A\cos\omega t,\ \ \ \ \ E_y\left(t\right)=A\cos\left(\omega t\pm\frac{\pi}{2}\right)

椭圆偏振光：水平与竖直分量振幅不相等的圆偏振光为椭圆偏振光，用分量表示为

E_x\left(t\right)=A_x\cos\omega t,\ \ \ \ \ E_y\left(t\right)=A_y\cos\left(\omega t\pm\delta\right)

当 $\delta=\pm\pi/2$ 时，为正椭圆偏振光；当 $\delta\neq\pi/2$ 时，为斜椭圆偏振光

马吕斯定律：一束光在通过偏振片后，光强变为 $I_P=A_{//}^2=\left(A_0\cos\alpha\right)^2$ ，其中 $A_0$ 为原始振幅， $\alpha$ 为光的偏振方向与偏振片透振方向的夹角
自然光透过偏振片后，光强变为

I_P\left(\alpha\right)=I_0\langle\cos^2\theta\rangle=I_0\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\mathrm{d}\theta=\frac{1}{2}I_0

对于部分偏振光，取其经过偏振片后的投射光强极大值和极小值分别为 $I_M$ 和 $I_m$ ，相应的方向为 $x$ 方向和 $y$ 方向，则可将部分偏振光表示为

I_P\left(\alpha\right)=I_m\cos^2\alpha+I_M\sin^2\alpha

或将其改写为

I_P\left(\alpha\right)=I_m\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)+\left(I_M-I_m\right)\sin^2\alpha

即有

I_P\left(\beta\right)=I_m+\left(I_M-I_m\right)\cos^2\beta

说明部分偏振光可以分解为一个强度为 $2I_m$ 的自然光和一个幅值为 $I_M-I_m$ 的线偏振光的叠加

椭圆偏振光通过偏振片后，可通过将 $x$ 、 $y$ 方向分量分别投影到透振方向并叠加计算干涉光场强度
偏振度的表达式为

p=\frac{I_M-I_m}{I_M+I_m}

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第三章介质界面光学与近场光学显微镜

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当入射角 $i_1$ 和折射角 $i_2$ 的和满足 $i_1+i_2=\pi/2$ 时，反射光的 $p$ 分量几乎为零，此时的 $i_1$ 被称为布儒斯特角 $i_B$ 。由于 $n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$ ，有

\tan i_B=\frac{n_2}{n_1}

斯托克斯倒逆关系：

\left\{ \begin{aligned} &rt+r't=0\\\\ &1-\left(r^2+tt'\right)=0 \end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} &r'=-r\\\\ &r^2+tt'=1 \end{aligned} \right.

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第四章干涉装置与广场时空相干性

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法布里珀罗干涉仪所选择的波长满足

2nh=K\lambda_K,\ \ \ \ \ \lambda_K=\frac{2nh}{K}

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第五章多元多维结构衍射与分形光学

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以矩形孔为例，当点源有了 $\left(x_0,y_0\right)$ 的位移时，夫琅禾费衍射光场分布变为

\tilde{U}'\left(\theta_1,\theta_2\right)=\tilde{U}\left(\theta_1,\theta_2\right)\cdot\mathrm{e}^{-ik\left(x_0\sin\theta_1y_0\sin\theta_2\right)}

含 $N$ 个全同单元的有序结构产生的夫琅禾费衍射场的一般表达式为

\tilde{U}\left(\theta_1,\theta_2\right)=\sum_{j=0}^{N-1}\tilde{u}_j=\tilde{u}_0\cdot\left[\sum_{j=0}^{N-1}\mathrm{e}^{i\left(\delta_{1j}+\delta_{2j}\right)}\right]=\tilde{u}_0\cdot\tilde{S}\left(\theta_1,\theta_2\right)

其中 $\left(\delta_{1j},\delta_{2j}\right)=-k\left(x_j\sin\theta_1+y_j\sin\theta_2\right)$ ， $\tilde{u}_0$ 为单元因子， $\tilde{S}$ 为结构因子

一维光栅的夫琅禾费衍射场结构因子为

\begin{aligned} \tilde{S}\left(\theta\right)&=\sum_{j=1}^N\mathrm{e}^{i\delta_j}=\left(1+\mathrm{e}^{i\delta}+\mathrm{e}^{i\left(2\delta\right)}+\dotsb++\mathrm{e}^{i\left(N-1\right)\delta}\right)=\frac{1-\mathrm{e}^{iN\delta}}{1-\mathrm{e}^{i\delta}}\\\\ &=\mathrm{e}^{i\left(N-1\right)\beta}\cdot\left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right),\ \ \ \ \ \beta=\frac{\delta}{2}=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda} \end{aligned}

上式化简时使用了公式

\left(1-\mathrm{e}^{i\Phi}\right)=-2\sin\left({\Phi}/{2}\right)\cdot\mathrm{e}^{i\Phi/2}\cdot i

因此总衍射场可以写为

\tilde{U}\left(\theta\right)=\tilde{u}_0\left(\theta\right)\cdot\tilde{S}\left(\theta\right)=\tilde{c}\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)\cdot\left(\frac{\sin N\beta}{\sin\beta}\right)\mathrm{e}^{i\left(N-1\right)\beta}

其中

\alpha=\frac{\pi a\sin\theta}{\lambda},\ \ \ \ \ \beta=\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}

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第八章光在晶体中的传播

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考虑一束偏振光入射波晶片，当光轴垂直于入射面时，出射光中 $\vec{E}_o\left(t\right)$ 和 $\vec{E}_e\left(t\right)$ 可写为

\varphi_o\left(B\right)=\varphi_o\left(A\right)-\frac{2\pi}{\lambda_0}n_od,\ \ \ \ \ \varphi_e\left(B\right)=\varphi_e\left(A\right)-\frac{2\pi}{\lambda_0}n_ed

即会产生一相位差

\delta_{oe}'=\frac{2\pi}{\lambda_0}\left(n_e-n_o\right)d

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第九章吸收·色散·散射

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瑞利散射定律：

I\left(\omega\right)\propto\omega^4\propto\frac{1}{\lambda^4}\\\\ I\left(\theta\right)=I_0\left(1+\cos^2\theta\right)

其中 $\theta$ 为散射光方向与入射光方向的夹角。定律推导过程如下：

设在外来光的激励下，分子感生电偶极矩为 $p\left(t\right)=p_0\cos\omega t$ ，故电场幅值可以表示为

E_0\left(r,\alpha\right)\propto p_0\frac{\omega^2}{r}\sin\alpha

其中 $\left(r,\alpha\right)$ 为场点位置矢量的距离和方向角。因此辐射场的平均能流密度（即光场强度）满足

I_s\left(\omega\right)\propto E_0^2\left(\omega\right)\propto\omega^4\propto\frac{1}{\lambda^4}\\\\ I_s\left(\alpha\right)\propto E_0^2\left(\alpha\right)\propto\sin^2\alpha

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光学公式

目录

第一章 费马原理与变折射率光学

第二章 波动光学引论

光波的复振幅描述

光波干涉引论

光波衍射引论

半波带方法

单缝夫琅禾费衍射

矩形孔夫琅禾费衍射

圆孔夫琅禾费衍射

偏振光引论

第三章 介质界面光学与近场光学显微镜

第四章 干涉装置与广场时空相干性

第五章 多元多维结构衍射与分形光学

第八章 光在晶体中的传播

第九章 吸收·色散·散射

第一章费马原理与变折射率光学

第二章波动光学引论

第三章介质界面光学与近场光学显微镜

第四章干涉装置与广场时空相干性

第五章多元多维结构衍射与分形光学

第八章光在晶体中的传播

第九章吸收·色散·散射