电动力学公式

第一章电磁现象的普遍规律

库仑定律：

$F=\frac{QQ'}{4\pi\varepsilon_0r^2},\ \ \ \ \ \vec{F}=\frac{QQ'}{4\pi\varepsilon_0r^3}\vec{r}$

电场强度：

$E=\sum_i\frac{Q_i}{4\pi\varepsilon_0r^2},\ \ \ \ \ \vec{E}=\sum_i\frac{Q_i\vec{r}_i}{4\pi\varepsilon_0r^3}\\\\ \vec{E}\left(x\right)=\int_V\frac{\rho\left(\vec{x}'\right)\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3}\mathrm{d}V'$

其中 $x'$ 、 $V'$ 为表示源点， $x$ 表示场点

静电场的散度与高斯定理：

$\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}$

其中 $Q$ 为高斯面所包围的总电荷，写成微分形式有

$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$

静电场的旋度为零，即有

$\oint_L\cdot\mathrm{d}\vec{l}=0,\ \ \ \ \ \nabla\times\vec{E}=0$

通过任意曲面 $S$ 的总电流可以表示为

$U=\int_S\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

毕奥萨伐尔定律：

$\vec{B}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\vec{J}\left(x'\right)\times\vec{r}}{r^3}\mathrm{d}V'$

对于细导线，有

$\vec{B}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}$

磁场的环量和旋度：

$\oint_L\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\mu_0I,\ \ \ \ \ \nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}$

麦克斯韦方程组：

积分形式：

$\left\{ \begin{aligned} &\oint_L\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\\\ &\oint_L\vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=I_f+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\\\ &\oint_S\vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=Q_f\\\\ &\oint_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0 \end{aligned} \right.$

微分形式：

$\left\{ \begin{aligned} &\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\\\ &\nabla\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\\\\ &\nabla\cdot\vec{D}=\rho\\\\ &\nabla\cdot\vec{B}=0 \end{aligned} \right.$

介质的电极化：电极化强度矢量 $\vec{P}=\chi_e\varepsilon_0\vec{E}$ ，电位移矢量 $\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}=\varepsilon\vec{E}$ ，其中

$\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0,\ \ \ \ \ \varepsilon_r=1+\chi_e$

介质的磁化：磁化强度 $\vec{M}=\chi_M\vec{H}$ ，磁场强度 $\vec{H}=\vec{B}/\mu_0-\vec{M}$ 即 $\vec{B}=\mu_0\left(\vec{H}+\vec{M}\right)=\mu\vec{H}$ ，其中

$\mu=\mu_0\mu_r,\ \ \ \ \ \mu_r=1+\chi_M$

电流密度与电场强度的关系为 $\vec{J}=\sigma\vec{E}$
电场强度 $\vec{E}$ 的切向连续，磁感应强度 $\vec{B}$ 的法向连续。其它边值关系有

$\left\{ \begin{aligned} \vec{e}_n\times\left(\vec{E}_2-\vec{E}_1\right)&=0\\\\ \vec{e}_n\times\left(\vec{H}_2-\vec{H}_1\right)&=\vec{\alpha}\\\\ \vec{e}_n\cdot\left(\vec{D}_2-\vec{D}_1\right)&=\sigma\\\\ \vec{e}_n\cdot\left(\vec{B}_2-\vec{B}_1\right)&=0 \end{aligned} \right.$

电偶极子是一对间距为 $l$ 、电荷量为 $q$ 的点电荷，可由 $\vec{p}=q\vec{l}$ 来表示。位于 $\vec{r}_0$ 处的电偶极子在 $\vec{r}$ 处产生的电势为

$\varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}\cdot\left(\vec{r}-\vec{r}_0\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}_0\right|^3}$

电偶极子从负电荷指向正电荷的方向为电偶极子的方向

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第二章静电场

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静电场是无旋的，因此可以引入一个标势 $\varphi$ 来描述静电场，有 $\vec{E}=-\nabla\varphi$
对于点电荷，其空间电势为（若取无穷远处为势能零点）

$\varphi\left(P\right)=\sum_i\frac{Q_i}{4\pi\varepsilon_0 r}$

对于连续分布的带电体，其空间电势为（若取无穷远处为势能零点）

$\varphi\left(\vec{x}\right)=\int_V\frac{\rho\left(\vec{x}'\right)\mathrm{d}V}'{4\pi\varepsilon_0r}$

导体内部不带静电荷；导体内部电场为零；导体表面为等势面
在球坐标中求解关于电势 $\varphi$ 的拉普拉斯方程可得到其通解为

$\begin{aligned} \varphi\left(R,\theta,\phi\right)=&\sum_{n,m}\left(a_{nm}+\frac{b_{nm}}{R^{n+1}}\right)P_n^m\left(\cos\theta\right)\cos m\phi\\\\ &+\sum_{n,m}\left(c_{nm}R^n+\frac{d_{nm}}{R^{n+1}}\right)P_n^m\left(\cos\theta\right)\sin m\phi \end{aligned}$

若体系对称，电势与方位角 $\varphi$ 无关，则可将其表示为

$\varphi=\sum_{n=0}\left(a_nR^n+\frac{b_n}{R^{n+1}}\right)P_n\left(\cos\theta\right)$

其中 $P_n\left(\cos\theta\right)$ 为勒让德函数，有

$\left\{ \begin{aligned} &P_0\left(\cos\theta\right)=1\\\\ &P_1\left(\cos\theta\right)=\cos\theta\\\\ &P_2\left(\cos\theta\right)=\frac{1}{2}\left(3\cos^2\theta-1\right)\\\\ &P_3\left(\cos\theta\right)=\frac{1}{2}\left(5\cos^2\theta-3\right)\\\\ &\dotsb\dotsb \end{aligned} \right.$

在使用电势法求解电场分布时，可根据边界条件

$\left\{ \begin{aligned} \varphi_1&=\varphi_2\\\\ \varepsilon_1\frac{\partial \varphi_1}{\partial r}&=\varepsilon_2\frac{\partial \varphi_2}{\partial r} \end{aligned} \right.$

来消去待定系数

半径为 $R_0$ 的导体球对于位于 $a$ 处的一点电荷的感应电荷 $(Q',b)$ 为

$Q'=-\frac{R_0}{a}Q,\ \ \ \ \ b=\frac{R_0^2}{a}$

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第三章静磁场

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磁矢势

$\vec{A}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu}{4\pi}\int_V\frac{\vec{J}\left(\vec{x}'\right)\mathrm{d}V'}{r}=\frac{\mu}{4\pi}\int_l\frac{I\mathrm{d}\vec{l}}{r}$

磁感应强度 $\vec{B}$ 和磁矢势 $\vec{A}$ 的关系为

$\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$

在没有电流元的地方，可以引入磁标势，则磁场强度可以表示为 $\vec{H}=-\nabla\varphi_m$ ，有

$\mathrm{d}\varphi_m=\frac{\mathrm{d}\vec{m}\cdot\vec{r}}{4\pi r^3}=\frac{I}{4\pi}\frac{\vec{r}\cdot\mathrm{d}\vec{S}'}{r^3}=\frac{I}{4\pi}\mathrm{d}\Omega$

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第四章电磁波的传播</h40>

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在真空中，若设电流密度 $\vec{J}$ 和电荷密度 $\rho$ 为 $0$ ，则麦克斯韦方程组可以表示为

$\left\{ \begin{aligned} &\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\\\ &\nabla\times\vec{H}=\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\\\\ &\nabla\cdot\vec{D}=0\\\\ &\nabla\cdot\vec{B}=0 \end{aligned} \right.$

联立1、2式有

$\left\{ \begin{aligned} &\nabla^2\vec{E}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=\nabla^2\vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=0\\\\ &\nabla^2\vec{B}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}=\nabla^2\vec{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}=0 \end{aligned} \right.$

其中利用了公式

$\nabla\times\left(\nabla\times\vec{E}\right)=\nabla\left(\nabla\cdot\vec{E}\right)-\nabla^2\vec{E}=-\nabla^2\vec{E}\\\\ \nabla\times\left(\nabla\times\vec{B}\right)=\nabla\left(\nabla\cdot\vec{B}\right)-\nabla^2\vec{B}=-\nabla^2\vec{B}$

考虑角频率为 $\omega$ 的电磁波，则其电场和磁场可以表示为

$\left\{ \begin{aligned} \vec{E}\left(\vec{x},t\right)&=\vec{E}\left(x\right)\mathrm{e}^{-i\omega t}\\\\ \vec{B}\left(\vec{x},t\right)&=\vec{B}\left(x\right)\mathrm{e}^{-i\omega t} \end{aligned} \right.$

代入麦克斯韦方程组，则有

$\left\{ \begin{aligned} &\nabla\times\vec{E}=i\omega\mu\vec{H}\\\\ &\nabla\times\vec{H}=-i\omega\varepsilon\vec{E}\\\\ &\nabla\cdot\vec{E}=0\\\\ &\nabla\cdot\vec{H}=0 \end{aligned} \right.$

联立1、2式有

$\nabla\times\left(\nabla\times\vec{E}\right)=\omega^2\mu\varepsilon\vec{E}\Leftrightarrow\nabla^2\vec{E}+k^2\vec{E}=0$

其中 $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ 。解出 $\vec{E}$ 后， $\vec{B}$ 可以表示为

$\vec{B}=-\frac{i}{k}\sqrt{\mu\varepsilon}\nabla\times\vec{E}$

考虑平面电磁波的表达式

$\left\{ \begin{aligned} \vec{E}\left(\vec{x},t\right)&=\vec{E}_0\mathrm{e}^{i\left(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t\right)}\\\\ \vec{B}\left(\vec{x},t\right)&=\vec{B}_0\mathrm{e}^{i\left(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t\right)} \end{aligned} \right.$

则 $\vec{B}$ 与 $\vec{E}$ 的关系为

$\vec{B}=-\frac{i}{k}\sqrt{\mu\varepsilon}\nabla\times\vec{E}=\sqrt{\mu\varepsilon}\frac{\vec{k}}{k}\times\vec{E}=\sqrt{\mu\varepsilon}\vec{e}_k\times\vec{E}=\frac{1}{v}\vec{e}_k\times\vec{E}$

因此平面电磁波电场与磁场的振幅比为

$\left|\frac{\vec{E}}{\vec{B}}\right|=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=v\\\\ \left|\frac{\vec{E}}{\vec{B}}\right|=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=c$

电磁波在介质界面处会发生折射和反射。设电磁波沿 $z$ 方向从介质1入射到介质2，二者的相对介电常数分别为 $\varepsilon_1$ 和 $\varepsilon_2$ ，介质光速分别为 $v_1$ 和 $v_2$ ，电磁波入射角、反射角和折射角分别为 $\theta_0$ 、 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ ，则由于电场强度 $\vec{E}$ 在界面处的切向分量连续，有

$\vec{e}_n\times\left(\vec{E}_0\mathrm{e}^{i\vec{k}_0\cdot\vec{r}}+\vec{E}_1\mathrm{e}^{i\vec{k}_2\cdot\vec{r}}\right)=\vec{e}_n\times\vec{E}_2\mathrm{e}^{i\vec{k}_2\cdot\vec{r}}$

由于 $\vec{r}$ 的任意性，上式成立的条件是

$\vec{k}_0\cdot\vec{r}=\vec{k}_1\cdot\vec{r}=\vec{k}_2\cdot\vec{r}$

设电场在 $y$ 方向无分量，则上式等价于

$k_{0x}=k_{1x}=k_{2x}$

即

$k_0\sin\theta_0=k_1\sin\theta_1=k_2\sin\theta_2$

根据电磁波频率与速度的关系

$k_0=k_1=\frac{\omega}{v_1},\ \ \ \ \ k_2=\frac{\omega}{v_2}$

代入上式可得

$\theta_0=\theta_1,\ \ \ \ \ \frac{\sin\theta_0}{\sin\theta_2}=\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{\sqrt{\mu_2\varepsilon_2}}{\sqrt{\mu_1\varepsilon_1}}=\frac{n_2}{n_1}$

此即为反射与折射的波矢和角度关系

下面考虑入射波、反射波和折射波的振幅，假定界面自由电流密度为 $0$ 时。当 $\vec{E}$ 垂直于入射面， $\vec{H}$ 平行于入射面时，有

$E_0+E_1=E_2\\\\ H_0\cos\theta_0-H_1\cos\theta_1=H_2\cos\theta_2$

将 $H=\sqrt{\varepsilon/\mu}E$ 代入可得

$\sqrt{\varepsilon_1}\left(E_0-E_1\right)\cos\theta_1=\sqrt{\varepsilon_2}E_2\cos\theta_2$

结合反射角与折射角的关系，有

$\left\{ \begin{aligned} \frac{E_1}{E_0}&=-\frac{\sin\left(\theta_0-\theta_2\right)}{\sin\left(\theta_0+\theta_2\right)}\\\\ \frac{E_2}{E_0}&=\frac{2\cos\theta_0\sin\theta_2}{\sin\left(\theta_0+\theta_2\right)} \end{aligned} \right.$

当 $\vec{H}$ 垂直于入射面， $\vec{E}$ 平行于入射面时，有

$H_0+H_1=H_2\\\\ E_0\cos\theta_0-E_1\cos\theta_1=E_2\cos\theta_2$

将 $H=\sqrt{\varepsilon/\mu}E$ 代入可得

$\sqrt{\varepsilon_1}\left(E_0+E_1\right)=\sqrt{\varepsilon_2}E_2$

结合反射角与折射角的关系，有

$\left\{ \begin{aligned} \frac{E_1}{E_0}&=\frac{\tan\left(\theta_0-\theta_2\right)}{\tan\left(\theta_0+\theta_2\right)}\\\\ \frac{E_2}{E_0}&=\frac{2\cos\theta_0\sin\theta_2}{\sin\left(\theta_0+\theta_2\right)\cos\left(\theta_0-\theta_2\right)} \end{aligned} \right.$

在导体中应用麦克斯韦方程组 $\nabla\cdot\vec{D}=\rho$ ，可得到导体中电荷密度与电场的微分方程为

$\varepsilon\nabla\cdot\vec{E}=\rho$

结合微分形式欧姆定律 $\vec{J}=\sigma\vec{E}$ ，可以得到

$\nabla\cdot\vec{J}=\frac{\sigma}{\varepsilon}\rho$

而由于电荷密度的变化与电流密度满足关系

$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla\cdot\vec{J}$

有

$\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\sigma}{\varepsilon}\rho$

求解此微分方程，可以得到

$\rho\left(t\right)=\rho_0\mathrm{e}^{-\frac{\sigma}{\varepsilon}t}$

其中 $\tau=\sigma/\rho$ ，称为电荷密度随时间衰减的特征时间

在导体中，麦克斯韦方程组可以写作

对于一频率为 $\omega$ 的电磁波，可令

$\vec{D}=\varepsilon\vec{E},\ \ \ \ \ \vec{B}=\mu\vec{H}$

则麦克斯韦方程组等价于

$\left\{ \begin{aligned} &\nabla\times\vec{E}=i\omega\mu\vec{H}\\\\ &\nabla\times\vec{H}=-i\omega\varepsilon\vec{E}+\sigma\vec{E}\\\\ &\nabla\cdot\vec{E}=0\\\\ &\nabla\cdot\vec{H}=0 \end{aligned} \right.$

因此可以在形式上引入“复电容率”

$\varepsilon'=\varepsilon+i\frac{\sigma}{\omega}$

电磁波在导体表面会发生反射与折射，在垂直入射时，有

$E+E'=E'',\ \ \ \ \ H-H'=H''$

$\omega=ck,\ \ \ \ \ k=\frac{\omega}{c}$

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第五章电磁波的辐射

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考虑真空中的电磁波，麦克斯韦方程组为

由于 $\vec{B}$ 是无源的，可以引入磁矢势 $\vec{A}$ ，有 $\vec{B}=\nabla\times\vec{A}$ 。代入1式，则有

$\nabla\times\vec{E}=-\nabla\times\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\Leftrightarrow\nabla\times\left(\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right)=0$

说明括号内的矢量为无旋的，因此可以用标势的负梯度来描述：

$\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}=-\nabla\varphi$

因此电场可以表示为

$\vec{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$

此处的 $\varphi$ 不再是传统意义上的电势

推迟势公式为

$\vec{A}\left(\vec{x},t\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\vec{J}\left(\vec{x}',t-\frac{r}{c}\right)}{r}\mathrm{d}V'$

若电流 $\vec{J}$ 是一定频率的交变电流，即有

$\vec{J}\left(\vec{x}',t\right)=\vec{J}\left(x'\right)\mathrm{e}^{-i\omega t}$

结合上述两式，有

$\vec{A}\left(\vec{x},t\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\vec{J}\left(x'\right)\mathrm{e}^{i\left(kr-\omega t\right)}}{r}\mathrm{d}V'$

若令

$\vec{A}\left(\vec{x},t\right)=\vec{A}\left(\vec{x}\right)\mathrm{e}^{-i\omega t}$

则有

$\vec{A}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\vec{J}\left(x'\right)\mathrm{e}^{ikr}}{r}\mathrm{d}V'$

电偶极辐射：将推迟势展开，则第一项可以表示为

$\vec{A}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_0\mathrm{e}^{ikR}}{4\pi R}\int_V\vec{J}\left(\vec{x}'\right)\mathrm{d}V'$

设电流密度表示为 $\vec{J}=\sum_i n_iq_i\vec{v}_i$ ，则有

$\int_V\vec{J}\left(\vec{x}'\right)\mathrm{d}V'=\sum_iq_i\vec{v}_i=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum q_i\vec{x}_i=\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\dot{\vec{p}}$

其中 $p$ 为电偶极矩，因此推迟势的第一项代表振荡电偶极矩产生的辐射，即有

$\vec{A}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_0\mathrm{e}^{ikR}}{4\pi R}\dot{\vec{p}}$

算符 $\nabla$ 作用时，仅需对相因子作用，即有

$\begin{aligned} &\nabla\rightarrow ik\vec{e}_R\\\\ &\frac{\partial}{\partial t}\rightarrow -i\omega \end{aligned}$

由此可得辐射场

$\left\{ \begin{aligned} &\vec{B}=\nabla\times\vec{A}=\frac{i\mu_0k}{4\pi R}\mathrm{e}^{ikR}\vec{e}_R\times\dot{\vec{p}}=\frac{\mathrm{e}^{ikR}}{4\pi\varepsilon_0 c^3R}\ddot{\vec{p}}\times\vec{e}_R\\\\ &\vec{E}=\frac{ic}{k}\nabla\times\vec{B}=c\vec{B}\times\vec{e}_R=\frac{\mathrm{e}^{ikR}}{4\pi\varepsilon_0 c^2R}\left(\ddot{\vec{p}}\times\vec{e}_R\right)\times\vec{e}_R \end{aligned} \right.$

在球坐标系中，有

$\left\{ \begin{aligned} &\vec{B}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 c^3R}\ddot{\vec{p}}\mathrm{e}^{ikR}\sin\theta\vec{e}_\varphi\\\\ &\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 c^2R}\ddot{\vec{p}}\mathrm{e}^{ikR}\sin\theta\vec{e}_\theta \end{aligned} \right.$

电偶极辐射的总辐射功率为

$P=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\left|\ddot{\vec{p}}\right|^2}{3c^3}$

磁偶极辐射的电场、磁场可以表示为

$\left\{ \begin{aligned} &\vec{B}=\frac{\mu_0\mathrm{e}^{ikR}}{4\pi c^2R}\left(\ddot{\vec{m}}\times\vec{e}_R\right)\times\vec{e}_{R}\\\\ &\vec{E}=c\vec{B}\times\vec{e}_{R}=-\frac{\mu_0\mathrm{e}^{ikR}}{4\pi cR}\left(\ddot{\vec{m}}\times\vec{e}_R\right) \end{aligned} \right.$

总辐射功率为

$P=\frac{\mu_0\omega^4\left|\vec{m}\right|^2}{12\pi c^3}$

电磁波的平均辐射功率为

$\bar{\vec{S}}=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\vec{E}^*\times\vec{H}\right)$

电磁场的动量密度为

$\vec{g}=\varepsilon_0\vec{E}\times\vec{B}=\frac{1}{c^2}\vec{S}$

若考虑圆形线圈，其磁矩振幅为 $m=\pi a^2I$ ，代入上式有

$P=\frac{\mu_0\omega^3\pi a^4I^2}{12c^3}$

电偶极辐射的能流密度为

$\bar{\vec{S}}=\frac{\mu_0\left|\ddot{\vec{p}}\right|^2}{32\pi^2c^3R^2}\sin^2\theta\vec{e}_R$

磁偶极辐射的能流密度为

$\bar{\vec{S}}=\frac{\mu_0\omega^4\left|\vec{m}\right|^2}{32\pi^2c^3R^2}\sin^2\theta\vec{e}_R$

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第一章费马原理与变折射率光学

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折射定律：

$n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$

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Qualifying Exam (6)