量子力学公式

1.关于粒子的散射

粒子散射的能量需要在质心系中计算
约化质量 $\mu=\left(m_1m_2\right)/\left(m_1+m_2\right)$
高能情况下应用Born近似，则散射波振幅可以表示为

$f\left(\theta\right)=-\frac{2\mu}{\hbar^2}\int_0^\infty\frac{\sin qr}{qr}V\left(r\right)\cdot r^2\mathrm{d}r$

其中 $q=2k\sin\left(\theta/2\right)$ ，积分可能需要用到分部积分公式

对于自旋为 $1/2$ 的粒子，总自旋的不同取值所对应的微分散射截面分别为

$\sigma_s=\sigma_{S=1}=\left|f\left(\theta\right)-f\left(\pi-\theta\right)\right|^2\\ \sigma_a=\sigma_{S=0}=\left|f\left(\theta\right)+f\left(\pi-\theta\right)\right|^2$

其中 $\sigma_s$ 为交换对称的自旋三态， $\sigma_a$ 为交换反对称的自旋单态

总的散射截面可以表示为

$\sigma\left(\theta\right)=\frac{3}{4}\sigma_s\left(\theta\right)+\frac{1}{4}\sigma_a\left(\theta\right)$

测得 $S=1$ 和 $S=0$ 的概率分别为

$p_1=\frac{3}{4}\frac{\sigma_s\left(\theta\right)}{\sigma\left(\theta\right)},\ \ \ p_0=\frac{1}{4}\frac{\sigma_a\left(\theta\right)}{\sigma\left(\theta\right)}$

其中 $S=1$ 的情况中包含了自旋都朝上、自旋都朝下和自旋交换对称的叠加态三种状态，各自几率相等

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2.关于一维谐振子

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对于一维谐振子，其哈密顿量可以表示为

$\hat{H}=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega x^2$

若引入无量纲算符

$\hat{P}=\sqrt{\frac{1}{m\omega\hbar}}p,\ \ \ \hat{Q}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x$

则升降算符可以表示为

$\hat{a}^+=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{Q}+i\hat{P}\right),\ \ \ \hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{Q}-i\hat{P}\right),$

升降算符的组合为粒子数算符 $\hat{n}=\hat{a}^+\hat{a}$ ，则哈密顿量可以表示为

$\hat{H}=\left(\hat{n}+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega$

下面求它的本征值和本征态

设本征方程为 $\hat{n}\left|n\right>=n\left|n\right>$ 由于升降算符满足 $\left[\hat{a},\hat{a}^+\right]=\hat{a}\hat{a}^+-\hat{a}^+\hat{a}=1$ ，因此

$\hat{n}\hat{a}\left|n\right>=\hat{a}^+\hat{a}\hat{a}\left|n\right>=\left(\hat{a}\hat{a}^+-1\right)\hat{a}\left|n\right>\\ =\left(\hat{a}\hat{a}^+\hat{a}-\hat{a}\right)\left|n\right>=\hat{a}\left(\hat{a}^+\hat{a}-1\right)\left|n\right>\\ =\hat{a}\left(\hat{n}-1\right)\left|n\right>=\left(n-1\right)\hat{a}\left|n\right>\\ \hat{n}\hat{a}^+\left|n\right>=\hat{a}^+\hat{a}\hat{a}^+\left|n\right>=\hat{a}^+\left(\hat{a}^+\hat{a}+1\right)\left|n\right>\\ =\hat{a}^+\left(\hat{n}+1\right)\left|n\right>=\left(n+1\right)\hat{a}^+\left|n\right>$

即 $\hat{a}\left|n\right>$ 和 $\hat{a}^+\left|n\right>$ 都是算符 $\hat{n}$ 的本征态

考虑到 $\hat{a}\left|n\right>$ 和 $\hat{a}^+\left|n\right>$ 各自的本征值为 $n-1$ 和 $n+1$ ，我们将各自的作用方程写为

$\hat{a}\left|n\right>=a_n\left|n-1\right>\\ \hat{a}^+\left|n\right>=b_n\left|n+1\right>\\$

共轭的方程为

$\left<n\right|\hat{a}^+=\left<n-1\right|a_n^*\\ \left<n\right|\hat{a}=\left<n+1\right|b_n^*\\$

分别相乘，可以解出 $a_n=\sqrt{n},\ \ \ b_n=\sqrt{n+1}$ 即有

$\hat{a}\left|n\right>=\sqrt{n}\left|n-1\right>\\ \hat{a}^+\left|n\right>=\sqrt{n+1}\left|n+1\right>$

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3.一维谐振子的坐标表象

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在坐标表象下，使用公式 $\hat{a}\left|0\right>=0$ 可以计算得到一维谐振子基态波函数为

$\Psi_0\left(x\right)=\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\mathrm{e}^{-\frac{m\omega}{2\hbar}x^2}$

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4.关于有限深方势阱

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设能量为 $E$ ，势阱范围为 $\left[-a/2,a/2\right]$ ，势阱内能势能为 $0$ ，势阱外势能为 $V$
在坐标表象下进行研究。写出薛定谔方程为

$\hat{H}\psi=E\psi$

由于在坐标表象下，哈密顿量可以表示为

$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+V\left(x\right)$ $\hat{p}=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$

因此薛定谔方程可以表示为

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi\left(x\right)+V\left(x\right)\psi\left(x\right)=E\psi\left(x\right)$

可以变形为

$\ddot{\psi}\left(x\right)+\frac{2m\left[E-V\left(x\right)\right]}{\hbar^2}\psi\left(x\right)=0$

当 $x\in\left[-a/2,a/2\right]$ 时，有 $V\left(x\right)=0$ ，即哈密顿方程变为

$\ddot{\psi}\left(x\right)+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi\left(x\right)=0$

此时令 $k^2=2mE/\hbar^2$ ，则有

$\ddot{\psi}\left(x\right)+k^2\psi\left(x\right)=0$

可解得

$\left\{ \begin{aligned} \psi_1\left(x\right)&=A\cos kx\\ \psi_2\left(x\right)&=B\sin kx \end{aligned} \right.$

分别对应偶宇称和奇宇称。根据积分可以确定归一化系数，得到

$\left\{ \begin{aligned} \psi_1\left(x\right)&=\sqrt{\frac{2}{a}}\cos kx\\ \psi_2\left(x\right)&=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin kx \end{aligned} \right.$

当 $x\notin\left[-a/2,a/2\right]$ 时，有 $V\left(x\right)=V$ ，即哈密顿方程变为

$\ddot{\psi}\left(x\right)-\frac{2m\left(V-E\right)}{\hbar^2}\psi\left(x\right)=0$

若 $V>E$ ，则可令 $\beta^2=2m\left(V-E\right)/\hbar^2$ ，则有

$\ddot{\psi}\left(x\right)-\beta^2\psi\left(x\right)=0$

可解得

$\left\{ \begin{aligned} \psi_-\left(x\right)&=C\mathrm{e}^{i\beta x}\\ \psi_+\left(x\right)&=D\mathrm{e}^{-i\beta x} \end{aligned} \right.$

其中 $C$ 和 $D$ 的值可以通过势场突变处波函数及其导数连续的条件求得

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5.关于自旋

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在 $S_z$ 表象下，泡利矩阵可以表示为

$\sigma_x= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} ,\ \ \ \sigma_y= \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} ,\ \ \ \sigma_z= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

自旋与泡利矩阵的关系为 $S_i=\hbar\sigma_i/2$
首先写出哈密顿量和薛定谔方程，然后一般都是在 $S_z$ 表象下用矩阵进行运算
考虑两个自旋的时候，使用耦合表象可能会简单一些

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6.关于微扰

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对于非简并态微扰，首先使用常规的流程和原始哈密顿量 $\hat{H}_0$ 计算得到体系的基态能量 $E_0$ 和基态波函数 $\left|\psi\right>$ ，然后利用公式

$E_1=\left<\psi\right|\hat{H}'\left|\psi\right>$

即可计算得到体系微扰的一阶能量近似

对于简并态微扰，可以用矩阵进行表示。设系统有 $n$ 个简并的基态 $\left|\psi_1\right>$ 、 $\left|\psi_2\right>$ 、 $\dotsb$ 、 $\left|\psi_n\right>$ ，则可以写出矩阵

$\begin{pmatrix} \left<\psi_1\right|\hat{H}'\left|\psi_1\right> & \dotsb & \left<\psi_1\right|\hat{H}'\left|\psi_n\right>\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \left<\psi_n\right|\hat{H}'\left|\psi_1\right> & \dotsb & \left<\psi_n\right|\hat{H}'\left|\psi_1\right> \end{pmatrix}$

将该矩阵对角化（或求出其本征值），则对角元（本征值）就是考虑一阶微扰之后的能量修正项

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7.其它一些琐碎的项

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波函数的模的平方为概率，具体计算的时候可以计算波函数与其共轭的波函数乘积并积分得到；若为矩阵表示，需要注意右矢变左矢的时候纵向矩阵要变成横向矩阵，所有的虚数部分要加负号
折合质量

$\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$

束缚态：在无限远处波函数为零的状态称为束缚态
两个自旋为 $\vec{S}$ 的粒子，其能级可以表示为

$\vec{S}_1\cdot\vec{S}_2=\frac{1}{2}\left[\left(\vec{S}_1+\vec{S}_2\right)^2-\vec{S}_1^2-\vec{S}_2^2\right]$

$\vec{S}_1+\vec{S}_2$ 的值可以取为

$S_1+S_2,\ S_1+S_2-1,\ \dotsb,\ \left|S_1-S_2+1\right|,\ \left|S_1-S_2\right|$

若单个自旋的取值为 $1/2$ ，则 $\vec{S}_1+\vec{S}_2$ 的取值为 $1$ 、 $0$ ；

若单个自旋的取值为 $1$ ，则 $\vec{S}_1+\vec{S}_2$ 的取值为 $2$ 、 $1$ 、 $0$

相差一个常数的两个算符具有共同的本征态
积分运算

$\int_0^\infty\mathrm{e}^{-x^2}x^2\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\\ \int_0^\infty\mathrm{e}^{-x^2}x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\\ \int_0^\infty\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

在计算波函数的时候，一定要注意边界条件。常见的边界条件有：
- 无穷远处波函数为零
- 原点处波函数为有限值
- 波函数在势场突变点连续，波函数的导数也连续
对易关系

$\left[\hat{x},\hat{H}\right]=\left[\hat{x},\frac{\hat{p}^2}{2m}\right] =\left[\hat{x},\frac{\hat{p}}{2m}\right]\hat{p}$

$\delta$ 函数的积分

$\int f\left(x\right)\delta\left(x-x_0\right)\mathrm{d}x=f\left(x_0\right)$

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特别感谢CMQ同学的讲解。祝我好运！

Qualifying Exam (6)